{l}{P_{1}=1/2+1/6P_{4}}{P_{4}=5/6+1/6P_{1}} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { P _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 6 } P _ { 4 } } \\ { P _ { 4 } = \frac { 5 } { 6 } + \frac { 1 } { 6 } P _ { 1 } } \end{array} \right.$$

P_1, P_4 өчен чишелеш

$$P_{1}=\frac{23}{35}\approx 0.657142857$$

$$P_{4}=\frac{33}{35}\approx 0.942857143$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. \frac{1}{6}P_{4}'ны ике яктан алыгыз.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2}$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. \frac{1}{6}P_{1}'ны ике яктан алыгыз.

$$P_{4}-\frac{1}{6}P_{1}=\frac{5}{6}$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, P_{1}'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, P_{1} өчен чишегез.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2}$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{P_{4}}{6} өстәгез.

$$P_{1}=\frac{1}{6}P_{4}+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә P_{1} урынына \frac{P_{4}}{6}+\frac{1}{2} куегыз, -\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}.

$$-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{6}P_{4}+\frac{1}{2}\right)+P_{4}=\frac{5}{6}$$

-\frac{1}{6}'ны \frac{P_{4}}{6}+\frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{36}P_{4}-\frac{1}{12}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

-\frac{P_{4}}{36}'ны P_{4}'га өстәгез.

$$\frac{35}{36}P_{4}-\frac{1}{12}=\frac{5}{6}$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{1}{12} өстәгез.

$$\frac{35}{36}P_{4}=\frac{11}{12}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{35}{36} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$P_{4}=\frac{33}{35}$$

\frac{33}{35}'ны P_{4} өчен P_{1}=\frac{1}{6}P_{4}+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры P_{1} өчен чишә аласыз.

$$P_{1}=\frac{1}{6}\times \frac{33}{35}+\frac{1}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{6}'ны \frac{33}{35} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$P_{1}=\frac{11}{70}+\frac{1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны \frac{11}{70}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$P_{1}=\frac{23}{35}$$

Система хәзер чишелгән.

$$P_{1}=\frac{23}{35},P_{4}=\frac{33}{35}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. \frac{1}{6}P_{4}'ны ике яктан алыгыз.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2}$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. \frac{1}{6}P_{1}'ны ике яктан алыгыз.

$$P_{4}-\frac{1}{6}P_{1}=\frac{5}{6}$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{6}}{1-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{6}}{1-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{35}&\frac{6}{35}\\\frac{6}{35}&\frac{36}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{35}\times \frac{1}{2}+\frac{6}{35}\times \frac{5}{6}\\\frac{6}{35}\times \frac{1}{2}+\frac{36}{35}\times \frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{35}\\\frac{33}{35}\end{matrix}\right)$$

P_{1} һәм P_{4} матрица элементларын чыгартыгыз.

$$P_{1}=\frac{23}{35},P_{4}=\frac{33}{35}$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. \frac{1}{6}P_{4}'ны ике яктан алыгыз.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2}$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. \frac{1}{6}P_{1}'ны ике яктан алыгыз.

$$P_{4}-\frac{1}{6}P_{1}=\frac{5}{6}$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

P_{1} һәм -\frac{P_{1}}{6} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -\frac{1}{6}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{6}P_{1}-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)P_{4}=-\frac{1}{6}\times \frac{1}{2},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

Гадиләштерегез.

$$-\frac{1}{6}P_{1}+\frac{1}{36}P_{4}=-\frac{1}{12},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}'ны -\frac{1}{6}P_{1}+\frac{1}{36}P_{4}=-\frac{1}{12}'нан алыгыз.

$$-\frac{1}{6}P_{1}+\frac{1}{6}P_{1}+\frac{1}{36}P_{4}-P_{4}=-\frac{1}{12}-\frac{5}{6}$$

-\frac{P_{1}}{6}'ны \frac{P_{1}}{6}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -\frac{P_{1}}{6} һәм \frac{P_{1}}{6} шартлар кыскартылган.

$$\frac{1}{36}P_{4}-P_{4}=-\frac{1}{12}-\frac{5}{6}$$

\frac{P_{4}}{36}'ны -P_{4}'га өстәгез.

$$-\frac{35}{36}P_{4}=-\frac{1}{12}-\frac{5}{6}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{1}{12}'ны -\frac{5}{6}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$-\frac{35}{36}P_{4}=-\frac{11}{12}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{35}{36} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$P_{4}=\frac{33}{35}$$

\frac{33}{35}'ны P_{4} өчен -\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры P_{1} өчен чишә аласыз.

$$-\frac{1}{6}P_{1}+\frac{33}{35}=\frac{5}{6}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{33}{35} алыгыз.

$$-\frac{1}{6}P_{1}=-\frac{23}{210}$$

Ике якны -6-га тапкырлагыз.

$$P_{1}=\frac{23}{35}$$

Система хәзер чишелгән.

$$P_{1}=\frac{23}{35},P_{4}=\frac{33}{35}$$