{l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$9x-3y-13=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 13 өстәгез.

$$9x-3y=13$$

Тигезләмәнең ике ягына 3y өстәгез.

$$9x=3y+13$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

\frac{1}{9}'ны 3y+13 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y}{3}+\frac{13}{9} куегыз, 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

2'ны \frac{y}{3}+\frac{13}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

\frac{2y}{3}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

\frac{26}{9}'ны -4'га өстәгез.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{10}{9} өстәгез.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{5}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{2}{3}$$

\frac{2}{3}'ны y өчен x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{3}'ны \frac{2}{3} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{13}{9}'ны \frac{2}{9}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{5}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

9x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га тапкырлагыз.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Гадиләштерегез.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 18x+9y-36=0'ны 18x-6y-26=0'нан алыгыз.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

18x'ны -18x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 18x һәм -18x шартлар кыскартылган.

$$-6y-9y-26+36=0$$

-6y'ны -9y'га өстәгез.

$$-15y-26+36=0$$

-26'ны 36'га өстәгез.

$$-15y+10=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$-15y=-10$$

Ике якны -15-га бүлегез.

$$y=\frac{2}{3}$$

\frac{2}{3}'ны y өчен 2x+y-4=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

\frac{2}{3}'ны -4'га өстәгез.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{10}{3} өстәгез.

$$2x=\frac{10}{3}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{5}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$