{l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$9x+my+3=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3 алыгыз.

$$9x+my=-3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан my алыгыз.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

\frac{1}{9}'ны -my-3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} куегыз, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

m'ны -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

-\frac{m^{2}y}{9}'ны 4y'га өстәгез.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -\frac{m}{3}+2 алыгыз.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Ике якны -\frac{m^{2}}{9}+4-га бүлегез.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

-\frac{3}{6+m}'ны y өчен x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{m}{9}'ны -\frac{3}{6+m} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}'ны \frac{m}{3\left(6+m\right)}'га өстәгез.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x һәм mx тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны m'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га тапкырлагыз.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Гадиләштерегез.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 9mx+36y+18=0'ны 9mx+m^{2}y+3m=0'нан алыгыз.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

9mx'ны -9mx'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 9mx һәм -9mx шартлар кыскартылган.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

m^{2}y'ны -36y'га өстәгез.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -18+3m алыгыз.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Ике якны m^{2}-36-га бүлегез.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

-\frac{3}{6+m}'ны y өчен mx+4y+2=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

4'ны -\frac{3}{6+m} тапкыр тапкырлагыз.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

-\frac{12}{6+m}'ны 2'га өстәгез.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2m}{6+m} алыгыз.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Ике якны m-га бүлегез.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

x, y өчен чишелеш

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$9x+my+3=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3 алыгыз.

$$9x+my=-3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан my алыгыз.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

\frac{1}{9}'ны -my-3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} куегыз, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

m'ны -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

-\frac{m^{2}y}{9}'ны 4y'га өстәгез.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -\frac{m}{3}+2 алыгыз.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Ике якны -\frac{m^{2}}{9}+4-га бүлегез.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

-\frac{3}{6+m}'ны y өчен x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{m}{9}'ны -\frac{3}{6+m} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}'ны \frac{m}{3\left(6+m\right)}'га өстәгез.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x һәм mx тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны m'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га тапкырлагыз.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Гадиләштерегез.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 9mx+36y+18=0'ны 9mx+m^{2}y+3m=0'нан алыгыз.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

9mx'ны -9mx'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 9mx һәм -9mx шартлар кыскартылган.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

m^{2}y'ны -36y'га өстәгез.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -18+3m алыгыз.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Ике якны m^{2}-36-га бүлегез.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

-\frac{3}{6+m}'ны y өчен mx+4y+2=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

4'ны -\frac{3}{6+m} тапкыр тапкырлагыз.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

-\frac{12}{6+m}'ны 2'га өстәгез.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2m}{6+m} алыгыз.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Ике якны m-га бүлегез.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$