{l}{9x+7y=6}{8x+3y=9} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$9x+7y=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$9x=-7y+6$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

\frac{1}{9}'ны -7y+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} куегыз, 8x+3y=9.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

8'ны -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

-\frac{56y}{9}'ны 3y'га өстәгез.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{16}{3} алыгыз.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{29}{9} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{33}{29}$$

-\frac{33}{29}'ны y өчен x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{7}{9}'ны -\frac{33}{29} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{2}{3}'ны \frac{77}{87}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{45}{29}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

9x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га тапкырлагыз.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

Гадиләштерегез.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 72x+27y=81'ны 72x+56y=48'нан алыгыз.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

72x'ны -72x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 72x һәм -72x шартлар кыскартылган.

$$56y-27y=48-81$$

56y'ны -27y'га өстәгез.

$$29y=48-81$$

48'ны -81'га өстәгез.

$$29y=-33$$

Ике якны 29-га бүлегез.

$$y=-\frac{33}{29}$$

-\frac{33}{29}'ны y өчен 8x+3y=9'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

3'ны -\frac{33}{29} тапкыр тапкырлагыз.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{99}{29} өстәгез.

$$8x=\frac{360}{29}$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{45}{29}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$