{l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

v, w өчен чишелеш

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, v'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, v өчен чишегез.

$$9v+2w=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2w алыгыз.

$$9v=-2w+7$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

\frac{1}{9}'ны -2w+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

Башка тигезләмәдә v урынына \frac{-2w+7}{9} куегыз, 3v-8w=-2.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

3'ны \frac{-2w+7}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

-\frac{2w}{3}'ны -8w'га өстәгез.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{7}{3} алыгыз.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{26}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$w=\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2}'ны w өчен v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры v өчен чишә аласыз.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{9}'ны \frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{9}'ны -\frac{1}{9}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$v=\frac{2}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

v һәм w матрица элементларын чыгартыгыз.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

9v һәм 3v тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га тапкырлагыз.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

Гадиләштерегез.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 27v-72w=-18'ны 27v+6w=21'нан алыгыз.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

27v'ны -27v'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 27v һәм -27v шартлар кыскартылган.

$$6w+72w=21+18$$

6w'ны 72w'га өстәгез.

$$78w=21+18$$

21'ны 18'га өстәгез.

$$78w=39$$

Ике якны 78-га бүлегез.

$$w=\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2}'ны w өчен 3v-8w=-2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры v өчен чишә аласыз.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

-8'ны \frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$3v-4=-2$$

Тигезләмәнең ике ягына 4 өстәгез.

$$3v=2$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$v=\frac{2}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$