{l}{9k_{1}+8k_{2}=59}{25k_{1}+k_{2}=79} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 9 k _ { 1 } + 8 k _ { 2 } = 59 } \\ { 25 k _ { 1 } + k _ { 2 } = 79 } \end{array} \right.$$

k_1, k_2 өчен чишелеш

$$k_{1}=3$$

$$k_{2}=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, k_{1}'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, k_{1} өчен чишегез.

$$9k_{1}+8k_{2}=59$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8k_{2} алыгыз.

$$9k_{1}=-8k_{2}+59$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$k_{1}=\frac{1}{9}\left(-8k_{2}+59\right)$$

\frac{1}{9}'ны -8k_{2}+59 тапкыр тапкырлагыз.

$$k_{1}=-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9}$$

Башка тигезләмәдә k_{1} урынына \frac{-8k_{2}+59}{9} куегыз, 25k_{1}+k_{2}=79.

$$25\left(-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9}\right)+k_{2}=79$$

25'ны \frac{-8k_{2}+59}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{200}{9}k_{2}+\frac{1475}{9}+k_{2}=79$$

-\frac{200k_{2}}{9}'ны k_{2}'га өстәгез.

$$-\frac{191}{9}k_{2}+\frac{1475}{9}=79$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1475}{9} алыгыз.

$$-\frac{191}{9}k_{2}=-\frac{764}{9}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{191}{9} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$k_{2}=4$$

4'ны k_{2} өчен k_{1}=-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры k_{1} өчен чишә аласыз.

$$k_{1}=-\frac{8}{9}\times 4+\frac{59}{9}$$

-\frac{8}{9}'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$k_{1}=\frac{-32+59}{9}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{59}{9}'ны -\frac{32}{9}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$k_{1}=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-8\times 25}&-\frac{8}{9-8\times 25}\\-\frac{25}{9-8\times 25}&\frac{9}{9-8\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{191}&\frac{8}{191}\\\frac{25}{191}&-\frac{9}{191}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{191}\times 59+\frac{8}{191}\times 79\\\frac{25}{191}\times 59-\frac{9}{191}\times 79\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

k_{1} һәм k_{2} матрица элементларын чыгартыгыз.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

9k_{1} һәм 25k_{1} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 25'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га тапкырлагыз.

$$25\times 9k_{1}+25\times 8k_{2}=25\times 59,9\times 25k_{1}+9k_{2}=9\times 79$$

Гадиләштерегез.

$$225k_{1}+200k_{2}=1475,225k_{1}+9k_{2}=711$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 225k_{1}+9k_{2}=711'ны 225k_{1}+200k_{2}=1475'нан алыгыз.

$$225k_{1}-225k_{1}+200k_{2}-9k_{2}=1475-711$$

225k_{1}'ны -225k_{1}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 225k_{1} һәм -225k_{1} шартлар кыскартылган.

$$200k_{2}-9k_{2}=1475-711$$

200k_{2}'ны -9k_{2}'га өстәгез.

$$191k_{2}=1475-711$$

1475'ны -711'га өстәгез.

$$191k_{2}=764$$

Ике якны 191-га бүлегез.

$$k_{2}=4$$

4'ны k_{2} өчен 25k_{1}+k_{2}=79'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры k_{1} өчен чишә аласыз.

$$25k_{1}+4=79$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4 алыгыз.

$$25k_{1}=75$$

Ике якны 25-га бүлегез.

$$k_{1}=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$