{l}{8x+3y=5}{3x+2y=70} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{200}{7} = -28\frac{4}{7} \approx -28.571428571$$

$$y = \frac{545}{7} = 77\frac{6}{7} \approx 77.857142857$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$8x+3y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$8x=-3y+5$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{8}'ны -3y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+5}{8} куегыз, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}\right)+2y=70$$

3'ны \frac{-3y+5}{8} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}+2y=70$$

-\frac{9y}{8}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{7}{8}y+\frac{15}{8}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{8} алыгыз.

$$\frac{7}{8}y=\frac{545}{8}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{8} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{545}{7}$$

\frac{545}{7}'ны y өчен x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{8}\times \frac{545}{7}+\frac{5}{8}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{8}'ны \frac{545}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{1635}{56}+\frac{5}{8}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{8}'ны -\frac{1635}{56}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{200}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}&\frac{8}{8\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{8}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{200}{7}\\\frac{545}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

8x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га тапкырлагыз.

$$3\times 8x+3\times 3y=3\times 5,8\times 3x+8\times 2y=8\times 70$$

Гадиләштерегез.

$$24x+9y=15,24x+16y=560$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 24x+16y=560'ны 24x+9y=15'нан алыгыз.

$$24x-24x+9y-16y=15-560$$

24x'ны -24x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 24x һәм -24x шартлар кыскартылган.

$$9y-16y=15-560$$

9y'ны -16y'га өстәгез.

$$-7y=15-560$$

15'ны -560'га өстәгез.

$$-7y=-545$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$y=\frac{545}{7}$$

\frac{545}{7}'ны y өчен 3x+2y=70'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2\times \frac{545}{7}=70$$

2'ны \frac{545}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{1090}{7}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1090}{7} алыгыз.

$$3x=-\frac{600}{7}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=-\frac{200}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$