{l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$8x+3y=103.1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$8x=-3y+103.1$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

\frac{1}{8}'ны -3y+103.1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} куегыз, 12x+8y=139.4.

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

12'ны -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

-\frac{9y}{2}'ны 8y'га өстәгез.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{3093}{20} алыгыз.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{61}{14}$$

-\frac{61}{14}'ны y өчен x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{8}'ны -\frac{61}{14} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1031}{80}'ны \frac{183}{112}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{2033}{140}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

8x һәм 12x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 12'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га тапкырлагыз.

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

Гадиләштерегез.

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 96x+64y=1115.2'ны 96x+36y=1237.2'нан алыгыз.

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

96x'ны -96x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 96x һәм -96x шартлар кыскартылган.

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

36y'ны -64y'га өстәгез.

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, 1237.2'ны -1115.2'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$-28y=122$$

Ике якны -28-га бүлегез.

$$y=-\frac{61}{14}$$

-\frac{61}{14}'ны y өчен 12x+8y=139.4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

8'ны -\frac{61}{14} тапкыр тапкырлагыз.

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{244}{7} өстәгез.

$$12x=\frac{6099}{35}$$

Ике якны 12-га бүлегез.

$$x=\frac{2033}{140}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$