{l}{8x+20y=64}{35x-20y=65} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 64 } \\ { 35 x - 20 y = 65 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$8x+20y=64,35x-20y=65$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$8x+20y=64$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 20y алыгыз.

$$8x=-20y+64$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+64\right)$$

\frac{1}{8}'ны -20y+64 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{2}y+8$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{5y}{2}+8 куегыз, 35x-20y=65.

$$35\left(-\frac{5}{2}y+8\right)-20y=65$$

35'ны -\frac{5y}{2}+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{175}{2}y+280-20y=65$$

-\frac{175y}{2}'ны -20y'га өстәгез.

$$-\frac{215}{2}y+280=65$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 280 алыгыз.

$$-\frac{215}{2}y=-215$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{215}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-\frac{5}{2}y+8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+8$$

-\frac{5}{2}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-5+8$$

8'ны -5'га өстәгез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$8x+20y=64,35x-20y=65$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{8\left(-20\right)-20\times 35}&-\frac{20}{8\left(-20\right)-20\times 35}\\-\frac{35}{8\left(-20\right)-20\times 35}&\frac{8}{8\left(-20\right)-20\times 35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{1}{43}\\\frac{7}{172}&-\frac{2}{215}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 64+\frac{1}{43}\times 65\\\frac{7}{172}\times 64-\frac{2}{215}\times 65\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$8x+20y=64,35x-20y=65$$

8x һәм 35x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 35'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га тапкырлагыз.

$$35\times 8x+35\times 20y=35\times 64,8\times 35x+8\left(-20\right)y=8\times 65$$

Гадиләштерегез.

$$280x+700y=2240,280x-160y=520$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 280x-160y=520'ны 280x+700y=2240'нан алыгыз.

$$280x-280x+700y+160y=2240-520$$

280x'ны -280x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 280x һәм -280x шартлар кыскартылган.

$$700y+160y=2240-520$$

700y'ны 160y'га өстәгез.

$$860y=2240-520$$

2240'ны -520'га өстәгез.

$$860y=1720$$

Ике якны 860-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 35x-20y=65'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$35x-20\times 2=65$$

-20'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$35x-40=65$$

Тигезләмәнең ике ягына 40 өстәгез.

$$35x=105$$

Ике якны 35-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=2$$