{l}{7x-2y=11}{x+y=8} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 2 y = 11 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$7x-2y=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$7x=2y+11$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{7}\left(2y+11\right)$$

\frac{1}{7}'ны 2y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{2y+11}{7} куегыз, x+y=8.

$$\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}+y=8$$

\frac{2y}{7}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{9}{7}y+\frac{11}{7}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{11}{7} алыгыз.

$$\frac{9}{7}y=\frac{45}{7}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{9}{7} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{7}\times 5+\frac{11}{7}$$

\frac{2}{7}'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{10+11}{7}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{7}'ны \frac{10}{7}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{7-\left(-2\right)}&\frac{7}{7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{2}{9}\times 8\\-\frac{1}{9}\times 11+\frac{7}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

7x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га тапкырлагыз.

$$7x-2y=11,7x+7y=7\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$7x-2y=11,7x+7y=56$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 7x+7y=56'ны 7x-2y=11'нан алыгыз.

$$7x-7x-2y-7y=11-56$$

7x'ны -7x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 7x һәм -7x шартлар кыскартылган.

$$-2y-7y=11-56$$

-2y'ны -7y'га өстәгез.

$$-9y=11-56$$

11'ны -56'га өстәгез.

$$-9y=-45$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен x+y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+5=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5 алыгыз.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=5$$