{l}{7x+5y=12}{8x-2y=7} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$7x+5y=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$7x=-5y+12$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

\frac{1}{7}'ны -5y+12 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-5y+12}{7} куегыз, 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

8'ны \frac{-5y+12}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

-\frac{40y}{7}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{96}{7} алыгыз.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{54}{7} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{47}{54}$$

\frac{47}{54}'ны y өчен x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{7}'ны \frac{47}{54} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{12}{7}'ны -\frac{235}{378}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{59}{54}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га тапкырлагыз.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 56x-14y=49'ны 56x+40y=96'нан алыгыз.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

56x'ны -56x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 56x һәм -56x шартлар кыскартылган.

$$40y+14y=96-49$$

40y'ны 14y'га өстәгез.

$$54y=96-49$$

96'ны -49'га өстәгез.

$$54y=47$$

Ике якны 54-га бүлегез.

$$y=\frac{47}{54}$$

\frac{47}{54}'ны y өчен 8x-2y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

-2'ны \frac{47}{54} тапкыр тапкырлагыз.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{47}{27} өстәгез.

$$8x=\frac{236}{27}$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{59}{54}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$