{l}{7x+3y=4}{2x+4y=8} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$7x+3y=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$7x=-3y+4$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

\frac{1}{7}'ны -3y+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+4}{7} куегыз, 2x+4y=8.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

2'ны \frac{-3y+4}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

-\frac{6y}{7}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{8}{7} алыгыз.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{22}{7} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{24}{11}$$

\frac{24}{11}'ны y өчен x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{7}'ны \frac{24}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{4}{7}'ны -\frac{72}{77}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

7x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га тапкырлагыз.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 14x+28y=56'ны 14x+6y=8'нан алыгыз.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

14x'ны -14x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 14x һәм -14x шартлар кыскартылган.

$$6y-28y=8-56$$

6y'ны -28y'га өстәгез.

$$-22y=8-56$$

8'ны -56'га өстәгез.

$$-22y=-48$$

Ике якны -22-га бүлегез.

$$y=\frac{24}{11}$$

\frac{24}{11}'ны y өчен 2x+4y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

4'ны \frac{24}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{96}{11} алыгыз.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$