{l}{7x+2y=192}{8x+y=204} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 192 } \\ { 8 x + y = 204 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=24$$

$$y=12$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$7x+2y=192,8x+y=204$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$7x+2y=192$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$7x=-2y+192$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+192\right)$$

\frac{1}{7}'ны -2y+192 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-2y+192}{7} куегыз, 8x+y=204.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}\right)+y=204$$

8'ны \frac{-2y+192}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{1536}{7}+y=204$$

-\frac{16y}{7}'ны y'га өстәгез.

$$-\frac{9}{7}y+\frac{1536}{7}=204$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1536}{7} алыгыз.

$$-\frac{9}{7}y=-\frac{108}{7}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{9}{7} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=12$$

12'ны y өчен x=-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{7}\times 12+\frac{192}{7}$$

-\frac{2}{7}'ны 12 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-24+192}{7}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{192}{7}'ны -\frac{24}{7}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=24$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=24,y=12$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$7x+2y=192,8x+y=204$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-2\times 8}&-\frac{2}{7-2\times 8}\\-\frac{8}{7-2\times 8}&\frac{7}{7-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{8}{9}&-\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}192\\204\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 192+\frac{2}{9}\times 204\\\frac{8}{9}\times 192-\frac{7}{9}\times 204\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\12\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=24,y=12$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$7x+2y=192,8x+y=204$$

7x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га тапкырлагыз.

$$8\times 7x+8\times 2y=8\times 192,7\times 8x+7y=7\times 204$$

Гадиләштерегез.

$$56x+16y=1536,56x+7y=1428$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 56x+7y=1428'ны 56x+16y=1536'нан алыгыз.

$$56x-56x+16y-7y=1536-1428$$

56x'ны -56x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 56x һәм -56x шартлар кыскартылган.

$$16y-7y=1536-1428$$

16y'ны -7y'га өстәгез.

$$9y=1536-1428$$

1536'ны -1428'га өстәгез.

$$9y=108$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$y=12$$

12'ны y өчен 8x+y=204'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x+12=204$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 12 алыгыз.

$$8x=192$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=24$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=24,y=12$$