{l}{6x-1/3y=27}{4/5x+1/4y=25/4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 27 } \\ { \frac { 4 } { 5 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 25 } { 4 } } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=5$$

$$y=9$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$6x-\frac{1}{3}y=27$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{y}{3} өстәгез.

$$6x=\frac{1}{3}y+27$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}y+27\right)$$

\frac{1}{6}'ны \frac{y}{3}+27 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y}{18}+\frac{9}{2} куегыз, \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}.

$$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

\frac{4}{5}'ны \frac{y}{18}+\frac{9}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{2}{45}y+\frac{18}{5}+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

\frac{2y}{45}'ны \frac{y}{4}'га өстәгез.

$$\frac{53}{180}y+\frac{18}{5}=\frac{25}{4}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{18}{5} алыгыз.

$$\frac{53}{180}y=\frac{53}{20}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{53}{180} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=9$$

9'ны y өчен x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{18}\times 9+\frac{9}{2}$$

\frac{1}{18}'ны 9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1+9}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{9}{2}'ны \frac{1}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=9$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\\-\frac{\frac{4}{5}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&\frac{6}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}&\frac{10}{53}\\-\frac{24}{53}&\frac{180}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}\times 27+\frac{10}{53}\times \frac{25}{4}\\-\frac{24}{53}\times 27+\frac{180}{53}\times \frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=5,y=9$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

6x һәм \frac{4x}{5} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{4}{5}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 6'га тапкырлагыз.

$$\frac{4}{5}\times 6x+\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{4}{5}\times 27,6\times \frac{4}{5}x+6\times \frac{1}{4}y=6\times \frac{25}{4}$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5},\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}'ны \frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5}'нан алыгыз.

$$\frac{24}{5}x-\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

\frac{24x}{5}'ны -\frac{24x}{5}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{24x}{5} һәм -\frac{24x}{5} шартлар кыскартылган.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

-\frac{4y}{15}'ны -\frac{3y}{2}'га өстәгез.

$$-\frac{53}{30}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{108}{5}'ны -\frac{75}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$-\frac{53}{30}y=-\frac{159}{10}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{53}{30} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=9$$

9'ны y өчен \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}\times 9=\frac{25}{4}$$

\frac{1}{4}'ны 9 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{4}{5}x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{9}{4} алыгыз.

$$\frac{4}{5}x=4$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{4}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=9$$