{l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

m, n өчен чишелеш

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, m'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, m өчен чишегез.

$$6m-5n=-9$$

Тигезләмәнең ике ягына 5n өстәгез.

$$6m=5n-9$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

\frac{1}{6}'ны 5n-9 тапкыр тапкырлагыз.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

Башка тигезләмәдә m урынына \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} куегыз, 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

4'ны \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

\frac{10n}{3}'ны 3n'га өстәгез.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Тигезләмәнең ике ягына 6 өстәгез.

$$\frac{19}{3}n=71$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{19}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$n=\frac{213}{19}$$

\frac{213}{19}'ны n өчен m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{5}{6}'ны \frac{213}{19} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{3}{2}'ны \frac{355}{38}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=\frac{149}{19}$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

m һәм n матрица элементларын чыгартыгыз.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m һәм 4m тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 6'га тапкырлагыз.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Гадиләштерегез.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 24m+18n=390'ны 24m-20n=-36'нан алыгыз.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

24m'ны -24m'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 24m һәм -24m шартлар кыскартылган.

$$-20n-18n=-36-390$$

-20n'ны -18n'га өстәгез.

$$-38n=-36-390$$

-36'ны -390'га өстәгез.

$$-38n=-426$$

Ике якны -38-га бүлегез.

$$n=\frac{213}{19}$$

\frac{213}{19}'ны n өчен 4m+3n=65'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

3'ны \frac{213}{19} тапкыр тапкырлагыз.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{639}{19} алыгыз.

$$4m=\frac{596}{19}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$m=\frac{149}{19}$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$