{l}{5x-y=8}{10x+3y=6} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-y=8$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$5x=y+8$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{5}'ны y+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{8+y}{5} куегыз, 10x+3y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

10'ны \frac{8+y}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$2y+16+3y=6$$

2y'ны 3y'га өстәгез.

$$5y+16=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 16 алыгыз.

$$5y=-10$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

\frac{1}{5}'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{8}{5}'ны -\frac{2}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{6}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

5x һәм 10x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 10'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

Гадиләштерегез.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 50x+15y=30'ны 50x-10y=80'нан алыгыз.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

50x'ны -50x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 50x һәм -50x шартлар кыскартылган.

$$-10y-15y=80-30$$

-10y'ны -15y'га өстәгез.

$$-25y=80-30$$

80'ны -30'га өстәгез.

$$-25y=50$$

Ике якны -25-га бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен 10x+3y=6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

3'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$10x-6=6$$

Тигезләмәнең ике ягына 6 өстәгез.

$$10x=12$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$x=\frac{6}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$