{l}{5x-y=6}{3x-4y=-10}quad{l}{x-3}{y=-2} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 6 } \\ { 3 x - 4 y = - 10 } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l } { x - 3 } \\ { y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-y=6$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$5x=y+6$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+6\right)$$

\frac{1}{5}'ны y+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{6+y}{5} куегыз, 3x-4y=-10.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}\right)-4y=-10$$

3'ны \frac{6+y}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}-4y=-10$$

\frac{3y}{5}'ны -4y'га өстәгез.

$$-\frac{17}{5}y+\frac{18}{5}=-10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{18}{5} алыгыз.

$$-\frac{17}{5}y=-\frac{68}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{17}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x=\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{5}\times 4+\frac{6}{5}$$

\frac{1}{5}'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{4+6}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{6}{5}'ны \frac{4}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 6-\frac{1}{17}\left(-10\right)\\\frac{3}{17}\times 6-\frac{5}{17}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=4$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 6,5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\left(-10\right)$$

Гадиләштерегез.

$$15x-3y=18,15x-20y=-50$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x-20y=-50'ны 15x-3y=18'нан алыгыз.

$$15x-15x-3y+20y=18+50$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$-3y+20y=18+50$$

-3y'ны 20y'га өстәгез.

$$17y=18+50$$

18'ны 50'га өстәгез.

$$17y=68$$

Ике якны 17-га бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен 3x-4y=-10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-4\times 4=-10$$

-4'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-16=-10$$

Тигезләмәнең ике ягына 16 өстәгез.

$$3x=6$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=4$$