{l}{5x-8y=9}{2x+y=12} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 y = 9 } \\ { 2 x + y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=5$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-8y=9$$

Тигезләмәнең ике ягына 8y өстәгез.

$$5x=8y+9$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{5}'ны 8y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{8y+9}{5} куегыз, 2x+y=12.

$$2\left(\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}\right)+y=12$$

2'ны \frac{8y+9}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{16}{5}y+\frac{18}{5}+y=12$$

\frac{16y}{5}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{21}{5}y+\frac{18}{5}=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{18}{5} алыгыз.

$$\frac{21}{5}y=\frac{42}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{21}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{8}{5}\times 2+\frac{9}{5}$$

\frac{8}{5}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{16+9}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{9}{5}'ны \frac{16}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}&\frac{8}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}\times 9+\frac{8}{21}\times 12\\-\frac{2}{21}\times 9+\frac{5}{21}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=5,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

5x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 9,5\times 2x+5y=5\times 12$$

Гадиләштерегез.

$$10x-16y=18,10x+5y=60$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+5y=60'ны 10x-16y=18'нан алыгыз.

$$10x-10x-16y-5y=18-60$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$-16y-5y=18-60$$

-16y'ны -5y'га өстәгез.

$$-21y=18-60$$

18'ны -60'га өстәгез.

$$-21y=-42$$

Ике якны -21-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 2x+y=12'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+2=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$2x=10$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=2$$