{l}{5x-6y=10}{2x+7y=3} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-6y=10$$

Тигезләмәнең ике ягына 6y өстәгез.

$$5x=6y+10$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

\frac{1}{5}'ны 6y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{6y}{5}+2 куегыз, 2x+7y=3.

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

2'ны \frac{6y}{5}+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

\frac{12y}{5}'ны 7y'га өстәгез.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4 алыгыз.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{47}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{5}{47}$$

-\frac{5}{47}'ны y өчен x=\frac{6}{5}y+2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{6}{5}'ны -\frac{5}{47} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

2'ны -\frac{6}{47}'га өстәгез.

$$x=\frac{88}{47}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

5x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

Гадиләштерегез.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+35y=15'ны 10x-12y=20'нан алыгыз.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$-12y-35y=20-15$$

-12y'ны -35y'га өстәгез.

$$-47y=20-15$$

20'ны -15'га өстәгез.

$$-47y=5$$

Ике якны -47-га бүлегез.

$$y=-\frac{5}{47}$$

-\frac{5}{47}'ны y өчен 2x+7y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

7'ны -\frac{5}{47} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{35}{47} өстәгез.

$$2x=\frac{176}{47}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{88}{47}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$