{l}{5x-4y=19}{x+2y=7} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-4y=19$$

Тигезләмәнең ике ягына 4y өстәгез.

$$5x=4y+19$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

\frac{1}{5}'ны 4y+19 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{4y+19}{5} куегыз, x+2y=7.

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

\frac{4y}{5}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{19}{5} алыгыз.

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{14}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{8}{7}$$

\frac{8}{7}'ны y өчен x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{4}{5}'ны \frac{8}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{19}{5}'ны \frac{32}{35}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{33}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

5x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 5x+10y=35'ны 5x-4y=19'нан алыгыз.

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

5x'ны -5x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 5x һәм -5x шартлар кыскартылган.

$$-4y-10y=19-35$$

-4y'ны -10y'га өстәгез.

$$-14y=19-35$$

19'ны -35'га өстәгез.

$$-14y=-16$$

Ике якны -14-га бүлегез.

$$y=\frac{8}{7}$$

\frac{8}{7}'ны y өчен x+2y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

2'ны \frac{8}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$x+\frac{16}{7}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{16}{7} алыгыз.

$$x=\frac{33}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$