{l}{5x-3y=2}{4x+7y=-3} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-3y=2$$

Тигезләмәнең ике ягына 3y өстәгез.

$$5x=3y+2$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{5}'ны 3y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{3y+2}{5} куегыз, 4x+7y=-3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y=-3$$

4'ны \frac{3y+2}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y=-3$$

\frac{12y}{5}'ны 7y'га өстәгез.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}=-3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{8}{5} алыгыз.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{47}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{23}{47}$$

-\frac{23}{47}'ны y өчен x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{3}{5}'ны -\frac{23}{47} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{2}{5}'ны -\frac{69}{235}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{5}{47}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

5x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 2,5\times 4x+5\times 7y=5\left(-3\right)$$

Гадиләштерегез.

$$20x-12y=8,20x+35y=-15$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 20x+35y=-15'ны 20x-12y=8'нан алыгыз.

$$20x-20x-12y-35y=8+15$$

20x'ны -20x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 20x һәм -20x шартлар кыскартылган.

$$-12y-35y=8+15$$

-12y'ны -35y'га өстәгез.

$$-47y=8+15$$

8'ны 15'га өстәгез.

$$-47y=23$$

Ике якны -47-га бүлегез.

$$y=-\frac{23}{47}$$

-\frac{23}{47}'ны y өчен 4x+7y=-3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)=-3$$

7'ны -\frac{23}{47} тапкыр тапкырлагыз.

$$4x-\frac{161}{47}=-3$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{161}{47} өстәгез.

$$4x=\frac{20}{47}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{5}{47}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$