{l}{5x-2y=5}{10x-3y=35} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 5 } \\ { 10 x - 3 y = 35 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=11$$

$$y=25$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-2y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$5x=2y+5$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{5}'ны 2y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{5}y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{2y}{5}+1 куегыз, 10x-3y=35.

$$10\left(\frac{2}{5}y+1\right)-3y=35$$

10'ны \frac{2y}{5}+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$4y+10-3y=35$$

4y'ны -3y'га өстәгез.

$$y+10=35$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$y=25$$

25'ны y өчен x=\frac{2}{5}y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\times 25+1$$

\frac{2}{5}'ны 25 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=10+1$$

1'ны 10'га өстәгез.

$$x=11$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=11,y=25$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 35\\-2\times 5+35\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\25\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=11,y=25$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

5x һәм 10x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 10'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$10\times 5x+10\left(-2\right)y=10\times 5,5\times 10x+5\left(-3\right)y=5\times 35$$

Гадиләштерегез.

$$50x-20y=50,50x-15y=175$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 50x-15y=175'ны 50x-20y=50'нан алыгыз.

$$50x-50x-20y+15y=50-175$$

50x'ны -50x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 50x һәм -50x шартлар кыскартылган.

$$-20y+15y=50-175$$

-20y'ны 15y'га өстәгез.

$$-5y=50-175$$

50'ны -175'га өстәгез.

$$-5y=-125$$

Ике якны -5-га бүлегез.

$$y=25$$

25'ны y өчен 10x-3y=35'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$10x-3\times 25=35$$

-3'ны 25 тапкыр тапкырлагыз.

$$10x-75=35$$

Тигезләмәнең ике ягына 75 өстәгез.

$$10x=110$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$x=11$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=11,y=25$$