{l}{5x+y=9}{10x-7y=-18} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+y=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$5x=-y+9$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{5}'ны -y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+9}{5} куегыз, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

10'ны \frac{-y+9}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-2y+18-7y=-18$$

-2y'ны -7y'га өстәгез.

$$-9y+18=-18$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 18 алыгыз.

$$-9y=-36$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

-\frac{1}{5}'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{9}{5}'ны -\frac{4}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)2\times 2 матрица өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=4$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

5x һәм 10x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 10'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Гадиләштерегез.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 50x-35y=-90'ны 50x+10y=90'нан алыгыз.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

50x'ны -50x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 50x һәм -50x шартлар кыскартылган.

$$10y+35y=90+90$$

10y'ны 35y'га өстәгез.

$$45y=90+90$$

90'ны 90'га өстәгез.

$$45y=180$$

Ике якны 45-га бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен 10x-7y=-18'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$10x-7\times 4=-18$$

-7'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$10x-28=-18$$

Тигезләмәнең ике ягына 28 өстәгез.

$$10x=10$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=4$$