{l}{5x+7y=7}{3x+2y=11} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{63}{11} = 5\frac{8}{11} \approx 5.727272727$$

$$y = -\frac{34}{11} = -3\frac{1}{11} \approx -3.090909091$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+7y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$5x=-7y+7$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+7\right)$$

\frac{1}{5}'ны -7y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-7y+7}{5} куегыз, 3x+2y=11.

$$3\left(-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=11$$

3'ны \frac{-7y+7}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{21}{5}+2y=11$$

-\frac{21y}{5}'ны 2y'га өстәгез.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{21}{5} алыгыз.

$$-\frac{11}{5}y=\frac{34}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{11}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{34}{11}$$

-\frac{34}{11}'ны y өчен x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{34}{11}\right)+\frac{7}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{7}{5}'ны -\frac{34}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{238}{55}+\frac{7}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{5}'ны \frac{238}{55}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{63}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)2\times 2 матрица өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 3}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-7\times 3}&\frac{5}{5\times 2-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{7}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{11}\\-\frac{34}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\times 7y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

Гадиләштерегез.

$$15x+21y=21,15x+10y=55$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+10y=55'ны 15x+21y=21'нан алыгыз.

$$15x-15x+21y-10y=21-55$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$21y-10y=21-55$$

21y'ны -10y'га өстәгез.

$$11y=21-55$$

21'ны -55'га өстәгез.

$$11y=-34$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$y=-\frac{34}{11}$$

-\frac{34}{11}'ны y өчен 3x+2y=11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2\left(-\frac{34}{11}\right)=11$$

2'ны -\frac{34}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-\frac{68}{11}=11$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{68}{11} өстәгез.

$$3x=\frac{189}{11}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{63}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$