{l}{5x+5y=14}{2x+4y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+5y=14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$5x=-5y+14$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

\frac{1}{5}'ны -5y+14 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+\frac{14}{5} куегыз, 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

2'ны -y+\frac{14}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

-2y'ны 4y'га өстәгез.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{28}{5} алыгыз.

$$2y=\frac{22}{5}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=\frac{11}{5}$$

\frac{11}{5}'ны y өчен x=-y+\frac{14}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

-1'ны \frac{11}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{14}{5}'ны -\frac{11}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

5x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+20y=50'ны 10x+10y=28'нан алыгыз.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$10y-20y=28-50$$

10y'ны -20y'га өстәгез.

$$-10y=28-50$$

28'ны -50'га өстәгез.

$$-10y=-22$$

Ике якны -10-га бүлегез.

$$y=\frac{11}{5}$$

\frac{11}{5}'ны y өчен 2x+4y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

4'ны \frac{11}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{44}{5} алыгыз.

$$2x=\frac{6}{5}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{3}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$