{l}{5x+4y=10}{7x-6y=43} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 10 } \\ { 7 x - 6 y = 43 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=4$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+4y=10,7x-6y=43$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+4y=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$5x=-4y+10$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+10\right)$$

\frac{1}{5}'ны -4y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{4}{5}y+2$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{4y}{5}+2 куегыз, 7x-6y=43.

$$7\left(-\frac{4}{5}y+2\right)-6y=43$$

7'ны -\frac{4y}{5}+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{28}{5}y+14-6y=43$$

-\frac{28y}{5}'ны -6y'га өстәгез.

$$-\frac{58}{5}y+14=43$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 14 алыгыз.

$$-\frac{58}{5}y=29$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{58}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{5}{2}$$

-\frac{5}{2}'ны y өчен x=-\frac{4}{5}y+2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{5}{2}\right)+2$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{4}{5}'ны -\frac{5}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2+2$$

2'ны 2'га өстәгез.

$$x=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=4,y=-\frac{5}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+4y=10,7x-6y=43$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\43\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\7&-6\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\43\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\43\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\43\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{5\left(-6\right)-4\times 7}&-\frac{4}{5\left(-6\right)-4\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-6\right)-4\times 7}&\frac{5}{5\left(-6\right)-4\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\43\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{58}&-\frac{5}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\43\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 10+\frac{2}{29}\times 43\\\frac{7}{58}\times 10-\frac{5}{58}\times 43\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=4,y=-\frac{5}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+4y=10,7x-6y=43$$

5x һәм 7x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$7\times 5x+7\times 4y=7\times 10,5\times 7x+5\left(-6\right)y=5\times 43$$

Гадиләштерегез.

$$35x+28y=70,35x-30y=215$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 35x-30y=215'ны 35x+28y=70'нан алыгыз.

$$35x-35x+28y+30y=70-215$$

35x'ны -35x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 35x һәм -35x шартлар кыскартылган.

$$28y+30y=70-215$$

28y'ны 30y'га өстәгез.

$$58y=70-215$$

70'ны -215'га өстәгез.

$$58y=-145$$

Ике якны 58-га бүлегез.

$$y=-\frac{5}{2}$$

-\frac{5}{2}'ны y өчен 7x-6y=43'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$7x-6\left(-\frac{5}{2}\right)=43$$

-6'ны -\frac{5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$7x+15=43$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$7x=28$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=4,y=-\frac{5}{2}$$