{l}{5x+3y=7}{y=2x+1} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

Алыштыруны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 2x'ны ике яктан алыгыз.

$$y-2x=1$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+3y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$5x=-3y+7$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

\frac{1}{5}'ны -3y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+7}{5} куегыз, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

-2'ны \frac{-3y+7}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

\frac{6y}{5}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{14}{5} өстәгез.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{11}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{19}{11}$$

\frac{19}{11}'ны y өчен x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{5}'ны \frac{19}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{5}'ны -\frac{57}{55}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{4}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 2x'ны ике яктан алыгыз.

$$y-2x=1$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 2x'ны ике яктан алыгыз.

$$y-2x=1$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

5x һәм -2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

Гадиләштерегез.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -10x+5y=5'ны -10x-6y=-14'нан алыгыз.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

-10x'ны 10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -10x һәм 10x шартлар кыскартылган.

$$-6y-5y=-14-5$$

-6y'ны -5y'га өстәгез.

$$-11y=-14-5$$

-14'ны -5'га өстәгез.

$$-11y=-19$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=\frac{19}{11}$$

\frac{19}{11}'ны y өчен -2x+y=1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{19}{11} алыгыз.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=\frac{4}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$