{l}{5x+3y=6}{2x+7y=9} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+3y=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$5x=-3y+6$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{5}'ны -3y+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+6}{5} куегыз, 2x+7y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

2'ны \frac{-3y+6}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

-\frac{6y}{5}'ны 7y'га өстәгез.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{12}{5} алыгыз.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{29}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{33}{29}$$

\frac{33}{29}'ны y өчен x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{5}'ны \frac{33}{29} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{6}{5}'ны -\frac{99}{145}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{15}{29}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

5x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

Гадиләштерегез.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+35y=45'ны 10x+6y=12'нан алыгыз.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$6y-35y=12-45$$

6y'ны -35y'га өстәгез.

$$-29y=12-45$$

12'ны -45'га өстәгез.

$$-29y=-33$$

Ике якны -29-га бүлегез.

$$y=\frac{33}{29}$$

\frac{33}{29}'ны y өчен 2x+7y=9'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

7'ны \frac{33}{29} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{231}{29} алыгыз.

$$2x=\frac{30}{29}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{15}{29}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$