{l}{5x+3y=460.000}{3x+4y=913.000} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 460.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{899}{11} = -81\frac{8}{11} \approx -81.727272727$$

$$y = \frac{3185}{11} = 289\frac{6}{11} \approx 289.545454545$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+3y=460$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$5x=-3y+460$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+460\right)$$

\frac{1}{5}'ны -3y+460 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{5}y+92$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{5}+92 куегыз, 3x+4y=913.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+92\right)+4y=913$$

3'ны -\frac{3y}{5}+92 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{5}y+276+4y=913$$

-\frac{9y}{5}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{11}{5}y+276=913$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 276 алыгыз.

$$\frac{11}{5}y=637$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{11}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{3185}{11}$$

\frac{3185}{11}'ны y өчен x=-\frac{3}{5}y+92'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3185}{11}+92$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{5}'ны \frac{3185}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{1911}{11}+92$$

92'ны -\frac{1911}{11}'га өстәгез.

$$x=-\frac{899}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 460-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 460+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{899}{11}\\\frac{3185}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 460,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

Гадиләштерегез.

$$15x+9y=1380,15x+20y=4565$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+20y=4565'ны 15x+9y=1380'нан алыгыз.

$$15x-15x+9y-20y=1380-4565$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$9y-20y=1380-4565$$

9y'ны -20y'га өстәгез.

$$-11y=1380-4565$$

1380'ны -4565'га өстәгез.

$$-11y=-3185$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=\frac{3185}{11}$$

\frac{3185}{11}'ны y өчен 3x+4y=913'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+4\times \frac{3185}{11}=913$$

4'ны \frac{3185}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{12740}{11}=913$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{12740}{11} алыгыз.

$$3x=-\frac{2697}{11}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=-\frac{899}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$