{l}{5x+2y=10}{4x+y=8} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { 4 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=0$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+2y=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$5x=-2y+10$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

\frac{1}{5}'ны -2y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{2y}{5}+2 куегыз, 4x+y=8.

$$4\left(-\frac{2}{5}y+2\right)+y=8$$

4'ны -\frac{2y}{5}+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{8}{5}y+8+y=8$$

-\frac{8y}{5}'ны y'га өстәгез.

$$-\frac{3}{5}y+8=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8 алыгыз.

$$-\frac{3}{5}y=0$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{3}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=0$$

0'ны y өчен x=-\frac{2}{5}y+2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=0$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{5}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{4}{3}\times 10-\frac{5}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=0$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

5x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$4\times 5x+4\times 2y=4\times 10,5\times 4x+5y=5\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$20x+8y=40,20x+5y=40$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 20x+5y=40'ны 20x+8y=40'нан алыгыз.

$$20x-20x+8y-5y=40-40$$

20x'ны -20x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 20x һәм -20x шартлар кыскартылган.

$$8y-5y=40-40$$

8y'ны -5y'га өстәгез.

$$3y=40-40$$

40'ны -40'га өстәгез.

$$3y=0$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$y=0$$

0'ны y өчен 4x+y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x=8$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=0$$