{l}{5a+25b=99}{25a+165b=523} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 25 b = 99 } \\ { 25 a + 165 b = 523 } \end{array} \right.$$

a, b өчен чишелеш

$$a = \frac{163}{10} = 16\frac{3}{10} = 16.3$$

$$b=\frac{7}{10}=0.7$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, a'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, a өчен чишегез.

$$5a+25b=99$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 25b алыгыз.

$$5a=-25b+99$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$a=\frac{1}{5}\left(-25b+99\right)$$

\frac{1}{5}'ны -25b+99 тапкыр тапкырлагыз.

$$a=-5b+\frac{99}{5}$$

Башка тигезләмәдә a урынына -5b+\frac{99}{5} куегыз, 25a+165b=523.

$$25\left(-5b+\frac{99}{5}\right)+165b=523$$

25'ны -5b+\frac{99}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-125b+495+165b=523$$

-125b'ны 165b'га өстәгез.

$$40b+495=523$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 495 алыгыз.

$$40b=28$$

Ике якны 40-га бүлегез.

$$b=\frac{7}{10}$$

\frac{7}{10}'ны b өчен a=-5b+\frac{99}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры a өчен чишә аласыз.

$$a=-5\times \frac{7}{10}+\frac{99}{5}$$

-5'ны \frac{7}{10} тапкыр тапкырлагыз.

$$a=-\frac{7}{2}+\frac{99}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{99}{5}'ны -\frac{7}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$a=\frac{163}{10}$$

Система хәзер чишелгән.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{165}{5\times 165-25\times 25}&-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}\\-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}&\frac{5}{5\times 165-25\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}\times 99-\frac{1}{8}\times 523\\-\frac{1}{8}\times 99+\frac{1}{40}\times 523\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{163}{10}\\\frac{7}{10}\end{matrix}\right)$$

a һәм b матрица элементларын чыгартыгыз.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

5a һәм 25a тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 25'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$25\times 5a+25\times 25b=25\times 99,5\times 25a+5\times 165b=5\times 523$$

Гадиләштерегез.

$$125a+625b=2475,125a+825b=2615$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 125a+825b=2615'ны 125a+625b=2475'нан алыгыз.

$$125a-125a+625b-825b=2475-2615$$

125a'ны -125a'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 125a һәм -125a шартлар кыскартылган.

$$625b-825b=2475-2615$$

625b'ны -825b'га өстәгез.

$$-200b=2475-2615$$

2475'ны -2615'га өстәгез.

$$-200b=-140$$

Ике якны -200-га бүлегез.

$$b=\frac{7}{10}$$

\frac{7}{10}'ны b өчен 25a+165b=523'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры a өчен чишә аласыз.

$$25a+165\times \frac{7}{10}=523$$

165'ны \frac{7}{10} тапкыр тапкырлагыз.

$$25a+\frac{231}{2}=523$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{231}{2} алыгыз.

$$25a=\frac{815}{2}$$

Ике якны 25-га бүлегез.

$$a=\frac{163}{10}$$

Система хәзер чишелгән.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$