{l}{41x+53y=135}{53x+41y=147} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$41x+53y=135$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 53y алыгыз.

$$41x=-53y+135$$

Ике якны 41-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

\frac{1}{41}'ны -53y+135 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-53y+135}{41} куегыз, 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

53'ны \frac{-53y+135}{41} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

-\frac{2809y}{41}'ны 41y'га өстәгез.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{7155}{41} алыгыз.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{1128}{41} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{135}{41}'ны -\frac{53}{41}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

41x һәм 53x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 53'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 41'га тапкырлагыз.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

Гадиләштерегез.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2173x+1681y=6027'ны 2173x+2809y=7155'нан алыгыз.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

2173x'ны -2173x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2173x һәм -2173x шартлар кыскартылган.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

2809y'ны -1681y'га өстәгез.

$$1128y=7155-6027$$

7155'ны -6027'га өстәгез.

$$1128y=1128$$

Ике якны 1128-га бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен 53x+41y=147'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$53x+41=147$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 41 алыгыз.

$$53x=106$$

Ике якны 53-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=1$$