{l}{40x+30y=500}{60x+15y=60} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$40x+30y=500$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 30y алыгыз.

$$40x=-30y+500$$

Ике якны 40-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40}'ны -30y+500 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} куегыз, 60x+15y=60.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

60'ны -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-45y+750+15y=60$$

-45y'ны 15y'га өстәгез.

$$-30y+750=60$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 750 алыгыз.

$$-30y=-690$$

Ике якны -30-га бүлегез.

$$y=23$$

23'ны y өчен x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4}'ны 23 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{25}{2}'ны -\frac{69}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{19}{4}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

40x һәм 60x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 60'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 40'га тапкырлагыз.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

Гадиләштерегез.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2400x+600y=2400'ны 2400x+1800y=30000'нан алыгыз.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

2400x'ны -2400x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2400x һәм -2400x шартлар кыскартылган.

$$1800y-600y=30000-2400$$

1800y'ны -600y'га өстәгез.

$$1200y=30000-2400$$

30000'ны -2400'га өстәгез.

$$1200y=27600$$

Ике якны 1200-га бүлегез.

$$y=23$$

23'ны y өчен 60x+15y=60'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$60x+15\times 23=60$$

15'ны 23 тапкыр тапкырлагыз.

$$60x+345=60$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 345 алыгыз.

$$60x=-285$$

Ике якны 60-га бүлегез.

$$x=-\frac{19}{4}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$