{l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=-2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x-3y-10=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 10 өстәгез.

$$4x-3y=10$$

Тигезләмәнең ике ягына 3y өстәгез.

$$4x=3y+10$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{4}'ны 3y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} куегыз, 3x+4y+5=0.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

3'ны \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

\frac{9y}{4}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

\frac{15}{2}'ны 5'га өстәгез.

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{25}{2} алыгыз.

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{25}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

\frac{3}{4}'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{2}'ны -\frac{3}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=-2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=-2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

4x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

Гадиләштерегез.

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x+16y+20=0'ны 12x-9y-30=0'нан алыгыз.

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$-9y-16y-30-20=0$$

-9y'ны -16y'га өстәгез.

$$-25y-30-20=0$$

-30'ны -20'га өстәгез.

$$-25y-50=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 50 өстәгез.

$$-25y=50$$

Ике якны -25-га бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен 3x+4y+5=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

4'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-8+5=0$$

-8'ны 5'га өстәгез.

$$3x-3=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 3 өстәгез.

$$3x=3$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=-2$$