{l}{4x-3y=1}{5x+y=7} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$y = \frac{23}{19} = 1\frac{4}{19} \approx 1.210526316$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x-3y=1$$

Тигезләмәнең ике ягына 3y өстәгез.

$$4x=3y+1$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

\frac{1}{4}'ны 3y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{3y+1}{4} куегыз, 5x+y=7.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=7$$

5'ны \frac{3y+1}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+y=7$$

\frac{15y}{4}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{19}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{4} алыгыз.

$$\frac{19}{4}y=\frac{23}{4}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{19}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{23}{19}$$

\frac{23}{19}'ны y өчен x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{23}{19}+\frac{1}{4}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{3}{4}'ны \frac{23}{19} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{69}{76}+\frac{1}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{4}'ны \frac{69}{76}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{22}{19}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}+\frac{3}{19}\times 7\\-\frac{5}{19}+\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{23}{19}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

4x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4y=4\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$20x-15y=5,20x+4y=28$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 20x+4y=28'ны 20x-15y=5'нан алыгыз.

$$20x-20x-15y-4y=5-28$$

20x'ны -20x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 20x һәм -20x шартлар кыскартылган.

$$-15y-4y=5-28$$

-15y'ны -4y'га өстәгез.

$$-19y=5-28$$

5'ны -28'га өстәгез.

$$-19y=-23$$

Ике якны -19-га бүлегез.

$$y=\frac{23}{19}$$

\frac{23}{19}'ны y өчен 5x+y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+\frac{23}{19}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{23}{19} алыгыз.

$$5x=\frac{110}{19}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{22}{19}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$