{l}{4x-2y=5}{3x-4y=15} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-1$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x-2y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$4x=2y+5$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{4}'ны 2y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y}{2}+\frac{5}{4} куегыз, 3x-4y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)-4y=15$$

3'ны \frac{y}{2}+\frac{5}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{4}-4y=15$$

\frac{3y}{2}'ны -4y'га өстәгез.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{4}=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{4} алыгыз.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{45}{4}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{5}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{9}{2}$$

-\frac{9}{2}'ны y өчен x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{5}{4}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{2}'ны -\frac{9}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{4}'ны -\frac{9}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 15\\\frac{3}{10}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

4x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

Гадиләштерегез.

$$12x-6y=15,12x-16y=60$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x-16y=60'ны 12x-6y=15'нан алыгыз.

$$12x-12x-6y+16y=15-60$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$-6y+16y=15-60$$

-6y'ны 16y'га өстәгез.

$$10y=15-60$$

15'ны -60'га өстәгез.

$$10y=-45$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$y=-\frac{9}{2}$$

-\frac{9}{2}'ны y өчен 3x-4y=15'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-4\left(-\frac{9}{2}\right)=15$$

-4'ны -\frac{9}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+18=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 18 алыгыз.

$$3x=-3$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$