{l}{4x+y=100}{2x+2y=56} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=24$$

$$y=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+y=100$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$4x=-y+100$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

\frac{1}{4}'ны -y+100 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{4}+25 куегыз, 2x+2y=56.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

2'ны -\frac{y}{4}+25 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

-\frac{y}{2}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 50 алыгыз.

$$\frac{3}{2}y=6$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{3}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x=-\frac{1}{4}y+25'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

-\frac{1}{4}'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-1+25$$

25'ны -1'га өстәгез.

$$x=24$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=24,y=4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=24,y=4$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

4x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

Гадиләштерегез.

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+8y=224'ны 8x+2y=200'нан алыгыз.

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$2y-8y=200-224$$

2y'ны -8y'га өстәгез.

$$-6y=200-224$$

200'ны -224'га өстәгез.

$$-6y=-24$$

Ике якны -6-га бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен 2x+2y=56'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+2\times 4=56$$

2'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$2x+8=56$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8 алыгыз.

$$2x=48$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=24$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=24,y=4$$