{l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+y=-7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$4x=-y-7$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

\frac{1}{4}'ны -y-7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y-7}{4} куегыз, 2x+6y=-11.

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

2'ны \frac{-y-7}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

-\frac{y}{2}'ны 6y'га өстәгез.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{7}{2} өстәгез.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{11}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{15}{11}$$

-\frac{15}{11}'ны y өчен x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{4}'ны -\frac{15}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{7}{4}'ны \frac{15}{44}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

4x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

Гадиләштерегез.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+24y=-44'ны 8x+2y=-14'нан алыгыз.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$2y-24y=-14+44$$

2y'ны -24y'га өстәгез.

$$-22y=-14+44$$

-14'ны 44'га өстәгез.

$$-22y=30$$

Ике якны -22-га бүлегез.

$$y=-\frac{15}{11}$$

-\frac{15}{11}'ны y өчен 2x+6y=-11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

6'ны -\frac{15}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{90}{11} өстәгез.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$