{l}{4x+7y=2}{5x+6y=4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+7y=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$4x=-7y+2$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

\frac{1}{4}'ны -7y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} куегыз, 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

5'ны -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

-\frac{35y}{4}'ны 6y'га өстәгез.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{2} алыгыз.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{11}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{6}{11}$$

-\frac{6}{11}'ны y өчен x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{7}{4}'ны -\frac{6}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны \frac{21}{22}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{16}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

4x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

Гадиләштерегез.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 20x+24y=16'ны 20x+35y=10'нан алыгыз.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

20x'ны -20x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 20x һәм -20x шартлар кыскартылган.

$$35y-24y=10-16$$

35y'ны -24y'га өстәгез.

$$11y=10-16$$

10'ны -16'га өстәгез.

$$11y=-6$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$y=-\frac{6}{11}$$

-\frac{6}{11}'ны y өчен 5x+6y=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

6'ны -\frac{6}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{36}{11} өстәгез.

$$5x=\frac{80}{11}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{16}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$