{l}{4x+5y=2}{3x+4y=1} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=-2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+5y=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$4x=-5y+2$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

\frac{1}{4}'ны -5y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} куегыз, 3x+4y=1.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

3'ны -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

-\frac{15y}{4}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{3}{2} алыгыз.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Ике якны 4-га тапкырлагыз.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

-\frac{5}{4}'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны \frac{5}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=-2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=-2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

4x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

Гадиләштерегез.

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x+16y=4'ны 12x+15y=6'нан алыгыз.

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$15y-16y=6-4$$

15y'ны -16y'га өстәгез.

$$-y=6-4$$

6'ны -4'га өстәгез.

$$-y=2$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен 3x+4y=1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

4'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-8=1$$

Тигезләмәнең ике ягына 8 өстәгез.

$$3x=9$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=-2$$