{l}{4x+5y=1}{5x-7y=1} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+5y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$4x=-5y+1$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{4}'ны -5y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-5y+1}{4} куегыз, 5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

5'ны \frac{-5y+1}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

-\frac{25y}{4}'ны -7y'га өстәгез.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{4} алыгыз.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{53}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{1}{53}$$

\frac{1}{53}'ны y өчен x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{4}'ны \frac{1}{53} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{4}'ны -\frac{5}{212}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{12}{53}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

4x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

Гадиләштерегез.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 20x-28y=4'ны 20x+25y=5'нан алыгыз.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

20x'ны -20x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 20x һәм -20x шартлар кыскартылган.

$$25y+28y=5-4$$

25y'ны 28y'га өстәгез.

$$53y=5-4$$

5'ны -4'га өстәгез.

$$53y=1$$

Ике якны 53-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{53}$$

\frac{1}{53}'ны y өчен 5x-7y=1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

-7'ны \frac{1}{53} тапкыр тапкырлагыз.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{7}{53} өстәгез.

$$5x=\frac{60}{53}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{12}{53}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$