{l}{4x+2y=12}{7x+18y=19} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+2y=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$4x=-2y+12$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{4}'ны -2y+12 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{2}+3 куегыз, 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

7'ны -\frac{y}{2}+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

-\frac{7y}{2}'ны 18y'га өстәгез.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 21 алыгыз.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{29}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{4}{29}$$

-\frac{4}{29}'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{2}'ны -\frac{4}{29} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

3'ны \frac{2}{29}'га өстәгез.

$$x=\frac{89}{29}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

4x һәм 7x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

Гадиләштерегез.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 28x+72y=76'ны 28x+14y=84'нан алыгыз.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

28x'ны -28x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 28x һәм -28x шартлар кыскартылган.

$$14y-72y=84-76$$

14y'ны -72y'га өстәгез.

$$-58y=84-76$$

84'ны -76'га өстәгез.

$$-58y=8$$

Ике якны -58-га бүлегез.

$$y=-\frac{4}{29}$$

-\frac{4}{29}'ны y өчен 7x+18y=19'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

18'ны -\frac{4}{29} тапкыр тапкырлагыз.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{72}{29} өстәгез.

$$7x=\frac{623}{29}$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{89}{29}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$