{l}{4m+10n=51}{9m+6n=90} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 4 m + 10 n = 51 } \\ { 9 m + 6 n = 90 } \end{array} \right.$$

m, n өчен чишелеш

$$m=9$$

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4m+10n=51,9m+6n=90$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, m'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, m өчен чишегез.

$$4m+10n=51$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10n алыгыз.

$$4m=-10n+51$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$m=\frac{1}{4}\left(-10n+51\right)$$

\frac{1}{4}'ны -10n+51 тапкыр тапкырлагыз.

$$m=-\frac{5}{2}n+\frac{51}{4}$$

Башка тигезләмәдә m урынына -\frac{5n}{2}+\frac{51}{4} куегыз, 9m+6n=90.

$$9\left(-\frac{5}{2}n+\frac{51}{4}\right)+6n=90$$

9'ны -\frac{5n}{2}+\frac{51}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{45}{2}n+\frac{459}{4}+6n=90$$

-\frac{45n}{2}'ны 6n'га өстәгез.

$$-\frac{33}{2}n+\frac{459}{4}=90$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{459}{4} алыгыз.

$$-\frac{33}{2}n=-\frac{99}{4}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{33}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$n=\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2}'ны n өчен m=-\frac{5}{2}n+\frac{51}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$m=-\frac{5}{2}\times \frac{3}{2}+\frac{51}{4}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{2}'ны \frac{3}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=\frac{-15+51}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{51}{4}'ны -\frac{15}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=9$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=9,n=\frac{3}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4m+10n=51,9m+6n=90$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&10\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\90\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&10\\9&6\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&10\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\90\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\90\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\90\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-10\times 9}&-\frac{10}{4\times 6-10\times 9}\\-\frac{9}{4\times 6-10\times 9}&\frac{4}{4\times 6-10\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}51\\90\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{5}{33}\\\frac{3}{22}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}51\\90\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 51+\frac{5}{33}\times 90\\\frac{3}{22}\times 51-\frac{2}{33}\times 90\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

m һәм n матрица элементларын чыгартыгыз.

$$m=9,n=\frac{3}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4m+10n=51,9m+6n=90$$

4m һәм 9m тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$9\times 4m+9\times 10n=9\times 51,4\times 9m+4\times 6n=4\times 90$$

Гадиләштерегез.

$$36m+90n=459,36m+24n=360$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 36m+24n=360'ны 36m+90n=459'нан алыгыз.

$$36m-36m+90n-24n=459-360$$

36m'ны -36m'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 36m һәм -36m шартлар кыскартылган.

$$90n-24n=459-360$$

90n'ны -24n'га өстәгез.

$$66n=459-360$$

459'ны -360'га өстәгез.

$$66n=99$$

Ике якны 66-га бүлегез.

$$n=\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2}'ны n өчен 9m+6n=90'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$9m+6\times \frac{3}{2}=90$$

6'ны \frac{3}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$9m+9=90$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 9 алыгыз.

$$9m=81$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$m=9$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=9,n=\frac{3}{2}$$