{l}{3y+x=31}{2y+3x=44} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

y, x өчен чишелеш

$$x=10$$

$$y=7$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, y'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, y өчен чишегез.

$$3y+x=31$$

Тигезләмәнең ике ягыннан x алыгыз.

$$3y=-x+31$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

\frac{1}{3}'ны -x+31 тапкыр тапкырлагыз.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

Башка тигезләмәдә y урынына \frac{-x+31}{3} куегыз, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

2'ны \frac{-x+31}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

-\frac{2x}{3}'ны 3x'га өстәгез.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{62}{3} алыгыз.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=10$$

10'ны x өчен y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

-\frac{1}{3}'ны 10 тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{31}{3}'ны -\frac{10}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$y=7$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=7,x=10$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

y һәм x матрица элементларын чыгартыгыз.

$$y=7,x=10$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

3y һәм 2y тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Гадиләштерегез.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6y+9x=132'ны 6y+2x=62'нан алыгыз.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

6y'ны -6y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6y һәм -6y шартлар кыскартылган.

$$2x-9x=62-132$$

2x'ны -9x'га өстәгез.

$$-7x=62-132$$

62'ны -132'га өстәгез.

$$-7x=-70$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$x=10$$

10'ны x өчен 2y+3x=44'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$2y+3\times 10=44$$

3'ны 10 тапкыр тапкырлагыз.

$$2y+30=44$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 30 алыгыз.

$$2y=14$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=7$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=7,x=10$$