{l}{3x-5y=-16}{2x+5y=31} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x + 5 y = 31 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-5y=-16$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$3x=5y-16$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)$$

\frac{1}{3}'ны 5y-16 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y-16}{3} куегыз, 2x+5y=31.

$$2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)+5y=31$$

2'ны \frac{5y-16}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}+5y=31$$

\frac{10y}{3}'ны 5y'га өстәгез.

$$\frac{25}{3}y-\frac{32}{3}=31$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{32}{3} өстәгез.

$$\frac{25}{3}y=\frac{125}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{25}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}$$

\frac{5}{3}'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{25-16}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{16}{3}'ны \frac{25}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-16\right)+\frac{1}{5}\times 31\\-\frac{2}{25}\left(-16\right)+\frac{3}{25}\times 31\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\times 5y=3\times 31$$

Гадиләштерегез.

$$6x-10y=-32,6x+15y=93$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+15y=93'ны 6x-10y=-32'нан алыгыз.

$$6x-6x-10y-15y=-32-93$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$-10y-15y=-32-93$$

-10y'ны -15y'га өстәгез.

$$-25y=-32-93$$

-32'ны -93'га өстәгез.

$$-25y=-125$$

Ике якны -25-га бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен 2x+5y=31'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+5\times 5=31$$

5'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$2x+25=31$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 25 алыгыз.

$$2x=6$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=5$$