{l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-2y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$3x=2y+5$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3}'ны 2y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{2y+5}{3} куегыз, -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

-1'ны \frac{2y+5}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

-\frac{2y}{3}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

-\frac{5}{3}'ны -5'га өстәгез.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{20}{3} өстәгез.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{4}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{47}{4}$$

\frac{47}{4}'ны y өчен x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{2}{3}'ны \frac{47}{4} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{3}'ны \frac{47}{6}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{19}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

3x һәм -x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

Гадиләштерегез.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -3x+6y-15=27'ны -3x+2y=-5'нан алыгыз.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

-3x'ны 3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -3x һәм 3x шартлар кыскартылган.

$$2y-6y+15=-5-27$$

2y'ны -6y'га өстәгез.

$$-4y+15=-5-27$$

-5'ны -27'га өстәгез.

$$-4y+15=-32$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$-4y=-47$$

Ике якны -4-га бүлегез.

$$y=\frac{47}{4}$$

\frac{47}{4}'ны y өчен -x+2y-5=9'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

2'ны \frac{47}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

\frac{47}{2}'ны -5'га өстәгез.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{37}{2} алыгыз.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$x=\frac{19}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$