{l}{3x+y=5}{2x+y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-5$$

$$y=20$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$3x=-y+5$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3}'ны -y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+5}{3} куегыз, 2x+y=10.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

2'ны \frac{-y+5}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

-\frac{2y}{3}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{10}{3} алыгыз.

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

Ике якны 3-га тапкырлагыз.

$$y=20$$

20'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3}'ны 20 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{3}'ны -\frac{20}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-5,y=20$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-5,y=20$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x+y=10'ны 3x+y=5'нан алыгыз.

$$3x-2x+y-y=5-10$$

y'ны -y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, y һәм -y шартлар кыскартылган.

$$3x-2x=5-10$$

3x'ны -2x'га өстәгез.

$$x=5-10$$

5'ны -10'га өстәгез.

$$x=-5$$

-5'ны x өчен 2x+y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$2\left(-5\right)+y=10$$

2'ны -5 тапкыр тапкырлагыз.

$$-10+y=10$$

Тигезләмәнең ике ягына 10 өстәгез.

$$y=20$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-5,y=20$$