{l}{3x+y=1}{4x-2y=18} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x - 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=-5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+y=1,4x-2y=18$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$3x=-y+1$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

\frac{1}{3}'ны -y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+1}{3} куегыз, 4x-2y=18.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-2y=18$$

4'ны \frac{-y+1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}-2y=18$$

-\frac{4y}{3}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{4}{3}=18$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{4}{3} алыгыз.

$$-\frac{10}{3}y=\frac{50}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{10}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-5$$

-5'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}'ны -5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5+1}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{3}'ны \frac{5}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=-5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+y=1,4x-2y=18$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\times 18\\\frac{2}{5}-\frac{3}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=-5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+y=1,4x-2y=18$$

3x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 18$$

Гадиләштерегез.

$$12x+4y=4,12x-6y=54$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x-6y=54'ны 12x+4y=4'нан алыгыз.

$$12x-12x+4y+6y=4-54$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$4y+6y=4-54$$

4y'ны 6y'га өстәгез.

$$10y=4-54$$

4'ны -54'га өстәгез.

$$10y=-50$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$y=-5$$

-5'ны y өчен 4x-2y=18'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x-2\left(-5\right)=18$$

-2'ны -5 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x+10=18$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$4x=8$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=-5$$