{l}{3x+8y=7}{4x-3y=23} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 8 y = 7 } \\ { 4 x - 3 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=5$$

$$y=-1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+8y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8y алыгыз.

$$3x=-8y+7$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y+7\right)$$

\frac{1}{3}'ны -8y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-8y+7}{3} куегыз, 4x-3y=23.

$$4\left(-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}\right)-3y=23$$

4'ны \frac{-8y+7}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{32}{3}y+\frac{28}{3}-3y=23$$

-\frac{32y}{3}'ны -3y'га өстәгез.

$$-\frac{41}{3}y+\frac{28}{3}=23$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{28}{3} алыгыз.

$$-\frac{41}{3}y=\frac{41}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{41}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-1$$

-1'ны y өчен x=-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{8}{3}\left(-1\right)+\frac{7}{3}$$

-\frac{8}{3}'ны -1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{8+7}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{3}'ны \frac{8}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=-1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-8\times 4}&-\frac{8}{3\left(-3\right)-8\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-8\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-8\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\\frac{4}{41}&-\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 7+\frac{8}{41}\times 23\\\frac{4}{41}\times 7-\frac{3}{41}\times 23\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=5,y=-1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

3x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$4\times 3x+4\times 8y=4\times 7,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 23$$

Гадиләштерегез.

$$12x+32y=28,12x-9y=69$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x-9y=69'ны 12x+32y=28'нан алыгыз.

$$12x-12x+32y+9y=28-69$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$32y+9y=28-69$$

32y'ны 9y'га өстәгез.

$$41y=28-69$$

28'ны -69'га өстәгез.

$$41y=-41$$

Ике якны 41-га бүлегез.

$$y=-1$$

-1'ны y өчен 4x-3y=23'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x-3\left(-1\right)=23$$

-3'ны -1 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x+3=23$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3 алыгыз.

$$4x=20$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=-1$$