{l}{3x+5y=9}{2x+8y=8} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 9 } \\ { 2 x + 8 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \approx 2.285714286$$

$$y=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+5y=9,2x+8y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+5y=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$3x=-5y+9$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+9\right)$$

\frac{1}{3}'ны -5y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{3}y+3$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{5y}{3}+3 куегыз, 2x+8y=8.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+3\right)+8y=8$$

2'ны -\frac{5y}{3}+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{10}{3}y+6+8y=8$$

-\frac{10y}{3}'ны 8y'га өстәгез.

$$\frac{14}{3}y+6=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6 алыгыз.

$$\frac{14}{3}y=2$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{14}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{3}{7}$$

\frac{3}{7}'ны y өчен x=-\frac{5}{3}y+3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{3}{7}+3$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{3}'ны \frac{3}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{5}{7}+3$$

3'ны -\frac{5}{7}'га өстәгез.

$$x=\frac{16}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{3}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+5y=9,2x+8y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 8-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 8-5\times 2}&\frac{3}{3\times 8-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{5}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 9-\frac{5}{14}\times 8\\-\frac{1}{7}\times 9+\frac{3}{14}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{7}\\\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{3}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+5y=9,2x+8y=8$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 9,3\times 2x+3\times 8y=3\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$6x+10y=18,6x+24y=24$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+24y=24'ны 6x+10y=18'нан алыгыз.

$$6x-6x+10y-24y=18-24$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$10y-24y=18-24$$

10y'ны -24y'га өстәгез.

$$-14y=18-24$$

18'ны -24'га өстәгез.

$$-14y=-6$$

Ике якны -14-га бүлегез.

$$y=\frac{3}{7}$$

\frac{3}{7}'ны y өчен 2x+8y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+8\times \frac{3}{7}=8$$

8'ны \frac{3}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x+\frac{24}{7}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{24}{7} алыгыз.

$$2x=\frac{32}{7}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{16}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{3}{7}$$